Şöyle düşünelim: Hilbert’in hayalinde örtük bir "başlangıç" vardı. Aksiyomları koyarsın, sistem oradan başlar, sonra her şey o temelden türetilir.
Gödel burada şunu gösterdi: Ne kadar dikkatli seçersen seç, sistem kendi başlangıcını içeremez. Başlangıç dediğin şey, sistemin içinden gerekçelendirilemez. Yani aksiyomlar "ilk neden" gibi durur ama aslında açıklamasızdır; sadece kabul edilir.
Bu, felsefi olarak çok ağır bir sonuçtur. CH meselesi ise bunu başka bir yönden derinleştiriyor. Süreklilik varsayımı, tam da "sonsuzlukların düzeni" üzerinden bir başlangıç hissi vermek ister. Peki öylemi, hayır; ZF içinde bu düzenin zorunlu olmadığını görüyoruz. Yani sonsuzluğun kendisi bile tek bir başlangıç şemasına bağlanamıyor. Aynı zeminde birden fazla "başlangıç yapısı" mümkün oluyor. Bu da şunu söylüyor: başlangıç, keşfedilen bir şey değil; seçilen bir çerçeve.
Burada çok önemli bir nokta var. Bu sonuçlar bize "başlangıç yoktur" demiyor basitçe.
Daha sert bir şey söylüyorlar: Başlangıç, ontolojik bir veri değil; sistemsel bir varsayımdır.
Yani başlangıç dediğimiz şey, gerçekliğin kendisinde duran bir nokta değil; düşünmenin kendini başlatmak için attığı bir düğüm. Gödel ve Cohen’in sonuçları bu düğümün hiçbir zaman sistem içinde sabitlenemeyeceğini gösteriyor.
Bu yüzden oluş vurgusu burada çok yerine oturuyor. Eğer gerçeklik oluş ise, zaten "ilk an", "ilk temel", "ilk aksiyom" gibi şeyler hep sonradan, geri dönük olarak kurulan referanslar olmak zorunda. Matematikte aksiyom neyse, ontolojide "ilk varlık/ilk neden" de o. İkisi de kapanış ihtiyacının ürünü, ama hiçbir zaman gerçekten kapanmıyor.
Kısaltmalar:
CH: Continuum Hypothesis, Türkçede Süreklilik Varsayımı: Continuum Hypothesis dediğimiz şey, kümeler kuramının kalbine saplanmış bir soru işareti gibi durur. Basitçe sorusu şu; doğal sayılar kümesinin büyüklüğüyle, gerçek sayılar kümesinin büyüklüğü arasında başka bir ara büyüklük var mı, yok mu? Yani sayılabilir sonsuzlukla “süreklilik” dediğimiz o daha büyük sonsuzluk arasında bir geçiş katmanı bulunuyor mu?
Bunu Cantor’un kardinalite fikriyle düşünmek gerekiyor. Doğal sayılar sayılabilir sonsuzdur, buna ℵ₀ denir. Gerçek sayılar ise bundan kesin olarak daha büyüktür; buna “continuum” denir. Continuum Hypothesis tam burada şunu iddia eder: ℵ₀’dan büyük olan en küçük sonsuzluk, doğrudan gerçek sayıların sonsuzluğudur; arada başka hiçbir sonsuzluk yoktur. Yani ya hemen sıçrarsın ya da sıçramazsın, arada basamak yoktur.
Ama işin kritik ve rahatsız edici tarafı şu: bu iddia ne doğru ne de yanlış olarak kanıtlanabiliyor. Zermelo–Fraenkel küme teorisini (seçim aksiyomu dâhil) kabul ettiğinde, Continuum Hypothesis’i istersen ekleyebiliyorsun, istersen reddedebiliyorsun; sistem çökmez. Kurt Gödel bunun doğru olduğu varsayılan bir evrenin çelişkisiz olduğunu gösterdi, Paul Cohen ise yanlış olduğu varsayımının da çelişkisiz olduğunu. Yani mesele matematiksel gerçeklikten çok, hangi evrende oynamayı seçtiğinle ilgili.
Bu yüzden bugün matematikte genel kabul şudur: Continuum Hypothesis çözülecek bir problem değil, hangi aksiyomatik evrende yaşamak istediğini belirleyen bir tercihtir.
ZF:Zermelo–Fraenkel küme teorisi: Zermelo–Fraenkel küme teorisi, modern matematiğin “zemini” gibi çalışan ama kendisi de bütünüyle masum olmayan bir çerçevedir. Kısaca söyleyeyim: matematiğin neredeyse tamamını “küme” denen soyut nesneler üzerinden yeniden inşa etmeye çalışan aksiyomatik bir sistemdir. Sayılar, fonksiyonlar, uzaylar, ilişkiler… hepsi en sonunda “küme” olarak tanımlanır. Yani matematiksel varlıkların ontolojisi, burada kümeye indirgenir.
ZF’nin ortaya çıkış nedeni gayet netti: 19. yüzyıl sonu ve 20. yüzyıl başında ortaya çıkan paradokslar. Özellikle “kendini içermeyen tüm kümelerin kümesi” gibi ifadeler matematiği patlatıyordu. ZF tam da bu noktada “her istediğin şeyi küme yapamazsın” diyerek sınır çizer. Bu sınır, sezgisel değil, aksiyomlarla konur. Yani ZF, kümelerin nasıl var olabileceğini değil, hangi koşullarda konuşulabileceğini belirler.
Sistemin kalbi aksiyomlardır, boş küme vardır, kümeler eşitlik yoluyla belirlenir, verilen bir kümeden alt küme seçebilirsin, kümeleri birleştirebilirsin, sonsuzluk diye bir küme varsayabilirsin ama keyfi tanımla yeni küme yaratamazsın. Özellikle “ayrım (separation)” ve “yerine koyma (replacement)” aksiyomları, paradoksları engelleyen polis gibidir
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder